معرفی کتاب: حساب دیفرانسیل و انتگرال

سلام! به روزهای گرم تابستانی نزدیک می‌شویم؛ روزهایی که برای بسیاری از افراد، روزهای آغازین المپیاد می‌باشد. شاید برای کسی که به تازگی شروع به مطالعه المپیاد نجوم می‌کند، هیچ چیز به اندازه تقویت پایه‌های ریاضی اهمیت نداشته باشد. برای همین امروز کتابی کاملا غیرنجومی و معروف را برای شما آماده کرده‌ایم!

نام کتاب: حساب دیفرانسیل و انتگرال (Calculus)

نام نویسنده: جورج بی. توماس (George B. Thomas)

نکته‌ای که باید به آن اشاره کرد این است که از این کتاب به تعداد موهای سرتان ویرایش‌های مختلف در بازار وجود دارد. این نوشته بر اساس ویرایش دوازدهم که یکی از آخرین (اگر آخرین نباشد!) ویرایش‌های منتشرشده در ایران است، نوشته شده است. این ویرایش را نشر هیمه منتشر کرده است. (گرچه این ترجمه، خیلی روان و مناسب نیست.)

حساب دیفرانسیل و انتگرال که تحت نام حسابان (یکی از معدود واژگان مثنای زبان فارسی که بر خلاف ساخت‌های زبان فارسی و واژه‌ای نادرست است!) نیز شناخته می‌شود و در زبان انگلیسی معمولا Calculus خوانده می‌شود، یکی از اولین دروازه‌های ورود به دنیای جذاب ریاضیات است. دنیایی که به جای اعداد، با توابع سروکار خواهید داشت. بخشی از ریاضیات که بیشتر برای حل مسائل مماس و مساحت پدیدار گشته است. پدیدآورنده این شاخه از علم را لایب‌نیتز (و البته عده‌ای نیوتن) می‌دانند. درباره حساب دیفرانسیل و انتگرال کتاب‌های فراوانی نوشته شده و حتی کتاب پیش‌دانشگاهی نیز در این‌باره به خوبی بحث کرده است. اما میان این کتاب‌ها، کتاب توماس از بیان نسبتا دقیق و در عین حال کاربردی برخوردار است. یعنی نه زیاد به اثبات‌های خشک ریاضی پرداخته نه اینکه به سادگی از کنار قضایای مهم عبور کرده. 

هدف ما در اینجا بررسی دقیق این کتاب نیست بلکه صرفا قصد داریم سرفصل‌هایی که انتظار می‌رود که یک المپیاد نجومی بلد باشد مرور کنیم. اما برای اینکه معیاری داشته باشیم کتاب توماس را معیار قرار می‌دهیم و طبق آن جلو می‌رویم. (دقت کنید شماره فصول بر اساس ویرایش دوازدهم بیان شده است.) اصولا برای یک المپیاد نجومی داشتن جلد اول کتاب کفایت می‌کند اما توصیه من به شما این است که جلد دوم هم را تهیه کنید چون خواندن جلد دوم خالی از لطف نیست! 

اولین فصل، به معرفی توابع می‌پردازد. به نظر من توماس مفهوم تابع را به یکی از بدترین شکل‌های ممکن توضیح داده اما در کل زیاد ایرادی به آن وارد نیست.

فصل دوم، درگاه ورود به دنیای پویای ریاضیات است. حدود و پیوستگی توابع به خوبی و در حد نیاز در این فصل بیان شده است. دقت کنید تمام زیربنای کار ریاضیاتی شما همین حد خواهد بود. برای همین اگر حد را نفهمید نمی‌توانید ارتباط خوبی با مشتق، انتگرال و... برقرار کنید. برای همین بدون در نظرگرفتن عدم کاربرد مستقیم حد در نجوم آن را مطالعه کنید.

فصل سوم به مشتق و محاسبه آن اختصاص دارد. اگر بخواهم به شما رک بگویم، اگر توانایی محاسبه بزرگترین مشتق‌ها در کمترین زمان را ندارید اصلا سراغ نجوم نروید! تنها راه رسیدن به این توانایی، حل مسائل زیاد در این رابطه است.

فصل چهارم به کاربرد مشتق اختصاص دارد. برای نمونه، آشنایی با روش نیوتن برای حل معادلات یکی از مهمترین بخش‌های این فصل است. در کل برای آینده‌تان بهتر است با مطالب این فصل آشنا باشید که البته در کل فصل سختی نیست!

فصل پنجم، شما را به دنیای جدیدی وارد می‌کند. دنیایی که شدیدا تقریبی به نظر می‌رسد، در حالی که کاملا دقیق است! انتگرال به عنوان یکی از مهم‌ترین و کاربردی‌ترین مفاهیم ریاضی در نجوم مطرح است. به طوری که در مرحله ۲ امسال هم شاهد حضور چند انتگرال بودیم. البته این فصل بیشتر انتگرال را معرفی می‌کند و زیاد وارد بحث محاسبه آن نمی‌شود.

فصل ششم، کاربردهای انتگرال معین را بررسی می‌کند. مطالعه این فصل به شما ابزارهای مناسبی برای حل مسائل نجومی می‌دهد. پس در کل از کنار این فصل، ساده نگذرید!

فصل هفتم توابع متعالی را بررسی می‌کند. توابعی که شاید کم و بیش با آن‌ها آشنا باشید. در کل انتظار می‌رود شما با تابع نمایی و معکوسش (یعنی لگاریتم طبیعی)، توابع معکوس مثلثاتی، توابع هیپربولیک و رفع ابهام حدهای خاص آشنا باشید.

فصل هشتم بی‌نهایت مهم است. روش‌های انتگرال‌گیری که باید گفت اگر کسی قادر به محاسبه انتگرال‌های روتین نباشد، بهتر است قدم در راه نجوم نگذارد! در این فصل، بعضی از مهم‌ترین روش‌های انتگرال‌گیری از جمله جزء به جزء، تجزیه کسرها و تغییر متغیر مثلثاتی مورد بررسی قرار می‌گیرد. حتما تمرینات این فصل را حل کنید. البته بخش‌های مربوط به حل عددی، زیاد اهمیتی ندارند.

فصل نهم، به بررسی معادلات دیفرانسیل مرتبه اول می‌پردازد. گرچه در ابتدا نیازی به مطالعه این فصل نیست اما در کل سود مطالعه فصل از ضررش بیشتر است.

فصل دهم به سری‌ها و دنباله‌ها می‌پردازد. به جز بخش‌های مربوط به بسط‌های تیلور و مک‌لورن، بقیه فصل اهمیت زیادی ندارد. 

در کل، از یک المپیاد نجومی انتظار می‌رود بتواند به روانی مشتق‌ها و انتگرال‌ها را محاسبه کند و برای توابع معروف بسط بنویسد و معادلات دیفرانسیل ساده را حل نماید. اینکه این مطالب از چه کتابی مطالعه شوند خیلی اهمیتی ندارد بلکه حل تعداد زیادی تمرین است که این توانایی‌ها را به شما می‌دهد.

موفق باشید!